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By Andreas Gathmann

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Falls ihr aus den Grundlagen der Mathematik schon Vektorräume kennt, werdet ihr vielleicht gemerkt haben, dass ihr dort auf genau diese Art vorgegangen seid: ihr habt gezeigt, dass jeder (endlich-dimensionale) Vektorraum über R isomorph ist zu Rn für ein n ∈ N — und aus diesem Grund dann oft nur noch diese speziellen Vektorräume Rn untersucht (z. B. wenn man Morphismen durch Matrizen beschreibt). Da wir uns dennoch schon seit Beginn dieser Vorlesung mit allgemeinen Gruppen beschäftigen, werdet ihr euch schon denken können, dass die Situation bei Gruppen hier nicht ganz so einfach ist.

Es sei f : G → H ein Morphismus von Gruppen. Wir nennen (a) Im f := f (G) = { f (a) : a ∈ G} das Bild von f ; (b) Ker f := f −1 (e) = {a ∈ G : f (a) = e} den Kern von f . 11 ist Im f ≤ H und Ker f ≤ G. Die Bezeichnungen Im f und Ker f kommen übrigens von den englischen Worten image und kernel. 13. Untersuche, ob die folgenden Abbildungen f Morphismen sind und berechne in diesen Fällen Ker f und Im f : (a) f : Z × Z → R, f (m, n) = 2m + 3n; (b) f : Q\{0} → Q, f (x) = x; (c) f : G → G, f (a) = gah für eine beliebige Gruppe G und gegebene g, h ∈ G.

13. Im Körper Z7 ist 5 das multiplikative Inverse zu 3, also 3 = 5, denn 5 · 3 = 15 = 1. Man kann also leicht nachprüfen, dass ein gegebenes Element von Zn das multiplikative Inverse eines anderen ist. 11 nicht konstruktiv ist, d. h.

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Algebraische Strukturen by Andreas Gathmann


by David
4.3

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