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2 Pour s’entraîner : ex. 3 et 4 56 Équations différentielles linéaires −2 π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 3 COURS 2π Doc. 2. 1 • Expression des solutions sous forme intégrale La méthode de résolution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre fait appel à deux reprises à une recherche de primitives : – dans la résolution de l’équation sans second membre y + a(t)y = 0, où l’on cherche A(t) = a(t) dt; – dans la détermination d’une solution particulière par la méthode de variation de la constante, où l’on cherche C (t) = b(t)eA(t) dt.

Ln x n = n ln x ln étant strictement croissante, elle admet une limite finie ou infinie en +∞. Comme ln 2n = n ln 2, être que +∞. lim ln 2n = +∞. 1) : Doc. 1 Logarithme répérien. ∀x ∈ R∗+ ln x x−1 31 COURS 2 Fonctions usuelles APPLICATION 1 Déterminer l’ensemble des couples (n, p) ∈ N∗2 tels que : n = p et np = pn ln n ln p = , ce qui n p ln x nous conduit à étudier la fonction f : x → . x Cette fonction est dérivable sur R∗+ , de dérivée 1 − ln x , elle est donc croissante sur ]0, e], décroisx2 sante sur [e, +∞[.

1 Solution déterminée par une condition initiale Théorème 2 Soit l’équation différentielle y + a(t)y = b(t). Une condition initiale de la forme y(t0 ) = y0 détermine une solution et une seule. Remarque : Si l’équation est de la forme : a(t)y + b(t)y = c(t), la condition initiale doit être choisie telle que a(t0 ) = 0 ; l’existence et l’unicité de la solution sont garanties dans tout intervalle contenant t0 sur lequel la fonction a ne s’annule pas, mais pas nécessairement sur une réunion de tels intervalles.