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Construction de Séries Discrètes p-adiques: Sur les Séries by Prof. Paul Gérardin (auth.) PDF

By Prof. Paul Gérardin (auth.)

ISBN-10: 3540071725

ISBN-13: 9783540071723

ISBN-10: 3540375066

ISBN-13: 9783540375067

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9. Preuve de la proposition 2 en caract~ristique 2. Par~mt tion ~'~',X de la repr@senta- de H' , on d@finit deux monomorphismes de k dans le groupe unitaire de l'espace Ck, en posant q~(v) =~(w) -I ~'z,%(q,(v)) et ~(u) = ~ ( g u ) ~'z, ~(p'(u)) . On a alors (p~(u),q+(v)) = "d~(uv). On ~crit s*(~) pour q#(v) p%(u) si w = au + v, et on note H r sous-groupe du groupe unitaire de ~k, engendr~ par les racines he de l'unit~ et l'image de L par s* : on a donc la suite : I >~4 ~ I"~'--""~ L' ~0 , avec s*(w) s*(w') = ~'(uv') s~(w+w ') , w = au + v , w' = au' + v';on transporte de ~ ' l'~otion s= H' qui fixe le centre~4.

ACt--t')+1 ~1/2 ~-1 -I, on fait appara[tre darts %(ci~ ~ -I) le produit des 3 termes ~crits ou second membre, apr~s quelques calculs, il reste seulement en facteur ~(c2,C(tt')-1), qui, par d~finition de c ,,est ~gal ~ Tk(C(tt') -I) ; 29 comme C(tt') -I = (tt,+l)-I (~t,+i)-I avec (tt'+1 )-I 6 L de trace I par rapport k, le lemme I donne le signe - de (ix). (x) on pose : (23) aE,(t) = - J % (v) -I Z'(v2(A(t-I)+I) C(t) -I) dv s i t # I , et ~(I) = I. k Alors t P-~ez,(t) Rr,(~ est une repr6sentation de k~' darts ck qui relive l'action de k*' sur H $ dans le groupe unitaire.

6). ' est un caract~re rationnel de T d~fini sur L. via t ~T A' . On sur SS a) Ii est alors imm~diat qu'on a toutes les representations du produit semi-direct D T de H' par T ~ partir des representations suiv~ntes : (i) pour chaque caract~re non trivial Z de /g'(k), pour chaque caract~re 8 de T, T on a une unique classe de representations irr~ductibles &r,8 de D T telle que T 9 ~,~ restreint au produit direct e 9 Tr $ $ , e ( t ) ~'(k) ~ Ker ~ , soit donn~ par ~ @ = - e(t) s i t ~' # I. 5. ' par T.

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